Question

14．给出下列四个命题：
①命题“若x＜-1，则x²-2x-3＞0”的否命题为“若x＜-1，则x²-2x-3≤0”；
②命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；
③“φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；
④命题p：“?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\frac{3}{2}$”；命题q：“设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是任意两个向量，则“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|”是“$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$”的充分不必要条件”，那么（￢p）∧q为真命题．
其中正确的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据否命题的定义，可判断①；根据全称命题的否定方法，可判断②；根据三角函数的图象和性质及充要条件的定义，可判断③；根据三角函数的图象和性质及向量数量积的定义，可判断④．

解答 解：①命题“若x＜-1，则x²-2x-3＞0”的否命题为“若x≥-1，则x²-2x-3≤0”，故错误；
②命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1，故正确；
③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则sin（-2x+φ）=sin[π-（-2x+φ）]=sin（2x+π-φ）=sin（2x+φ）恒成立，
则2φ-π=2kπ（k∈Z），即φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），
反之当φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）时，y=sin（2x+φ）=cos2x或y=sin（2x+φ）=-cos2x是偶函数，
故“φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，故正确；
④∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\frac{3}{2}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故命题p：“?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\frac{3}{2}$”为假命题；
若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$同向，
故命题q：“设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是任意两个向量，则“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|”是“$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$”的充分不必要条件”为真命题，
那么（￢p）∧q为真命题．
综上正确的个数有3个，
故选：B

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，难度中档．