题目内容
已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间的最小值为,求的值.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间的最小值为,求的值.
(1)当时,函数的单调减区间是,当时,函数的单调减区间是,单调增区间为;(2).
试题分析:(1)求函数的单调区间,可利用定义,也可利用求导法,本题含有对数函数,可通过求导法来求函数的单调区间,求函数导函数,令,找出分界点,从而确定函数的单调区间,但由于含有参数,需对参数分,,讨论,从而得函数的单调区间;(2)若函数在区间的最小值为,求的值,求出函数在区间的最小值,令它等于为即可,由(1)可知,当时,函数的单调减区间是,的最小值为,解出,验证是否符合,当时,函数的单调减区间是,单调增区间为,由于不知函数在区间的单调性,需讨论,,,分别求出函数在区间的最小值,令它等于为,解出,验证是否符合,从而得的值.
试题解析:函数的定义域是, .
(1)(1)当时,,故函数在上单调递减.
(2)当时,恒成立,所以函数在上单调递减.
(3)当时,令,又因为,解得.
①当时,,所以函数在单调递减.
②当时,,所以函数在单调递增.
综上所述,当时,函数的单调减区间是,
当时,函数的单调减区间是,单调增区间为. 7分
(2)(1)当时,由(1)可知,在上单调递减,
所以的最小值为,解得,舍去.
(2)当时,由(1)可知,
①当,即时,函数在上单调递增,
所以函数的最小值为,解得.
②当,即时,函数在上单调递减,
在上单调递增,所以函数的最小值为,解得,舍去.
③当,即时,函数在上单调递减,
所以函数的最小值为,得,舍去.
综上所述,. 13分
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