Question

16．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），当x=$\frac{2}{3}$π时，f（x）取最大值，则f（x）在[-π，0]上的单调增区间是[-$\frac{π}{2}$，0]．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ=-$\frac{π}{6}$，可得f（x）=Asin（x-$\frac{π}{6}$）．再根据正弦函数的增区间求得函数f（x）的增区间．

解答 解：由于函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），当x=$\frac{2}{3}$π时，f（x）取最大值，
可得$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
故f（x）=Asin（x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数f（x）的增区间为[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
再结合x∈[-π，0]，可得f（x）的增区间为[-$\frac{π}{2}$，0]，
故答案为：[-$\frac{π}{2}$，0]．

点评 本题主要考查正弦函数的最大值、正弦函数的单调性，属于中档题．