Question

8．已知f（x+2）=${3}^{{x}^{2}+4x+4}$
（1）求函数f（x）的解析式
（2）判断函数f（x）的奇偶性
（3）解不等式f（x-2）＞f（x+3）

Answer 1

分析 （1）根据题意，f（x+2）=${3}^{{x}^{2}+4x+4}$=${3}^{（x+2）^{2}}$，利用换元法令t=x+2，则x=t-2，代入f（x）中即可得答案；
（2）根据题意，先求出f（x）=${3}^{{x}^{2}}$的定义域为R，进而求出又由于f（-x）=${3}^{{x}^{2}}$，分析f（-x）与f（x）的关系即可得答案；
（3）由函数的解析式可将f（x-2）＞f（x+3）转化为${3}^{（x-2）^{2}}$＞${3}^{（x+3）^{2}}$，再由指数函数的性质可得（x+2）²＞（x+3）²，解可得答案．

解答 解：（1）根据题意，f（x+2）=${3}^{{x}^{2}+4x+4}$=${3}^{（x+2）^{2}}$，
令t=x+2，则x=t-2，
则f（t）=${3}^{{t}^{2}}$，
故f（x）=${3}^{{x}^{2}}$；
（2）由（1）可得，f（x）=${3}^{{x}^{2}}$，易得其定义域为R，
又由于f（-x）=${3}^{{x}^{2}}$=f（x），
故f（x）为偶函数；
（3）若f（x-2）＞f（x+3），
即${3}^{（x-2）^{2}}$＞${3}^{（x+3）^{2}}$，
即（x+2）²＞（x+3）²，
解可得：x＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查指函数奇偶性的运用涉及指数函数的性质，解题的关键是正确求出f（x）的解析式．