Question

5．已知数列{a_n}、{b_n}，数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意自然数n，总有S_n=p（a_n-1），（p是常数且p≠0，p≠1）．数列{b_n}中，b_n=2n+q（q是常数），且a₁=b₁，a₂＜b₂，求：
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过令n=1易知${a_1}=\frac{p}{p-1}$，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1可知数列{a_n}是首项、公比均为$\frac{p}{p-1}$的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及a₁=b₁、a₂＜b₂，联立二式并消去q整理、计算可知p＜$\frac{1}{2}$或p＞2，进而可得结论．

解答 解：（1）依题意，a₁=S₁=p（a₁-1），即${a_1}=\frac{p}{p-1}$，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p（a_n-a_n-1），
∴（p-1）a_n=pa_n-1，
∴数列{a_n}是首项、公比均为$\frac{p}{p-1}$的等比数列，
∴$a_n^{\;}=\frac{p}{p-1}•{（\frac{p}{p-1}）^{n-1}}={（\frac{p}{p-1}）^n}$；
（2）依题意，$\frac{p}{p-1}=2+q，{（\frac{p}{p-1}）^2}＜4+q$，
消去q并整理得：${（\frac{p}{p-1}）^2}-\frac{p}{p-1}-2＜0$，
解得：$-1＜\frac{p}{p-1}＜2$，
∴p＜$\frac{1}{2}$或p＞2，
∴p的取值范围是：（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．