Question

13．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），点F₁（-1，0）、C（-2，0）分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F₁的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段F₁C为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁（-1，0），C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$，即可求出椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）通过设B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），利用$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$=$2+3{x_0}+{x_0}^2+{y_0}^2$=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$，进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由F₁（-1，0），C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$．…（4分）
所以椭圆M的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）设B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），则$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1$，…（6分）
因为F₁（-1，0），C（-2，0），
所以$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$=$2+3{x_0}+{x_0}^2+{y_0}^2$
=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$…（9分）
解得：x₀=-2或-10…（10分）
又因为-2＜x₀＜2，所以点B不在以F₁C为直径的圆上，
即不存在直线点l，使得点B在以线段F₁C为直径的圆上．…（12分）

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．