Question

4．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：元/千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式$y=\frac{m}{x-3}+8{（{x-6}）^2}$，其中3＜x＜6，m为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ） 求m的值；
（Ⅱ） 若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将x=5时y=11代入函数解析式计算即得m的值；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知$y=\frac{6}{x-3}+8{（{x-6}）^2}$，利用“利润=销售收入-成本”代入计算可知利润$f（x）=（{x-3}）[{\frac{6}{x-3}+8{{（{x-6}）}^2}}]=6+8（{{x^3}-15{x^2}+72x-108}）$，通过求导考查f（x）在区间（3，6）上的单调性，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）因为销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克，所以$\frac{m}{2}+8=11⇒m=6$；…．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知该商品每日的销售量$y=\frac{6}{x-3}+8{（{x-6}）^2}$，所以商场每日销售该商品所获得的利润：$f（x）=（{x-3}）[{\frac{6}{x-3}+8{{（{x-6}）}^2}}]=6+8（{{x^3}-15{x^2}+72x-108}）$…．（8分）
f'（x）=24（x²-10x+24）=24（x-4）（x-6），令f'（x）=0得x=6或x=6（舍去）
f（x）在区间（3，4）上单调递增，在区间（4，6）上单调递减，
∴当x=4时f（x）取最大值f（4）=38…（12分）

点评 本题考查是一道关于函数的简单应用题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．