Question

2．在用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{4}$	π	$\frac{7π}{4}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{13π}{4}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（Ⅰ）请将上表空格中处所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$，再将所得图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象的方法，将上表数据补充完整，直接写出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的性质，得出结论．

解答 解：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=3，ωπ+φ=$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得ω=$\frac{2}{3}$，φ=-$\frac{π}{6}$，数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{4}$	π	$\frac{7π}{4}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{13π}{4}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

且函数表达式为f（x）=3sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）函数y=3sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$（纵坐标不变），得到3sin（2x-$\frac{π}{6}$），
再将所得函数的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到g（x）=3sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得g（x）的单调递增区间为：[kπ$-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．