Question

1．若直线y=a与函数y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． {$\frac{{e}^{2}}{3}$}
• B． （0，$\frac{{e}^{2}}{3}$）
• C． （$\frac{{e}^{2}}{3}$，e）
• D． （$\frac{1}{e}$，1）∪{$\frac{{e}^{2}}{3}$}

Answer 1

分析 先求得函数y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|的定义域为（0，+∞），再分段y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-lnx-1}{{x}^{3}}，x∈（0，{e}^{-1}）}\\{\frac{lnx+1}{{x}^{3}}，x∈[{e}^{-1}，+∞）}\end{array}\right.$，从而分别求导确定函数的单调性，从而解得．

解答 解：函数y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|的定义域为（0，+∞），
y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-lnx-1}{{x}^{3}}，x∈（0，{e}^{-1}）}\\{\frac{lnx+1}{{x}^{3}}，x∈[{e}^{-1}，+∞）}\end{array}\right.$，
当x∈（0，e^-1）时，y′=$\frac{3lnx+2}{{x}^{4}}$，
∵x∈（0，e^-1），∴lnx＜-1，
∴y′=$\frac{3lnx+2}{{x}^{4}}$＜0，
∴y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|在（0，e^-1）上是减函数；
当x∈（e^-1，+∞）时，y′=-$\frac{3lnx+2}{{x}^{4}}$，
∴当x∈（e^-1，${e}^{-\frac{2}{3}}$）时，∴y′＞0，
当x∈（${e}^{-\frac{2}{3}}$，+∞）时，∴y′＜0，
∴y=|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|在（e^-1，${e}^{-\frac{2}{3}}$）上是增函数，
在（${e}^{-\frac{2}{3}}$，+∞）上是减函数；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=+∞，f（e^-1）=0，
f（${e}^{-\frac{2}{3}}$）=$\frac{{e}^{2}}{3}$，$\underset{lim}{x→+∞}$|$\frac{lnx+1}{{x}^{3}}$|=0，
故实数a的取值范围为（0，$\frac{{e}^{2}}{3}$），
故选B．

点评 本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用．