Question

9．下列几个命题：
①方程x²+（a-3）x+a=0若有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②函数f（x）=a是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为（-3，1）；
④一条曲线y=|3-x²|和直线y=a，（a∈R）的公共点个数是M，则M的值不可能是1；
其中正确的有①④．

Answer 1

分析 由题意求出a的范围判断①；举例说明②错误；由函数图象左右平移值域不变说明③错误；画出图形，数形结合说明④正确．

解答 解：①令f（x）=x²+（a-3）x+a，方程x²+（a-3）x+a=0若有一个正实根，一个负实根，则f（0）＜0，即a＜0，①正确；
②函数f（x）=a是偶函数，但不是奇函数错误，若a=0，则f（x）=a即是偶函数又是奇函数；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为（-3，1），错误，原因是函数f（x+1）是把函数f（x）向左平移1个单位得到，函数值域不变；
④作出函数y=|3-x²|的图象如图，
由图可知，曲线y=|3-x²|和直线y=a，（a∈R）的公共点个数是M可以是0，2，3，4，不可能是1，④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查函数的零点与方程根的问题，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．