题目内容

【题目】（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

【答案】

（1）见解析

（2）二面角的余弦值为.

【解析】

（1）由题设可得，

又是直角三角形，所以

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO

又由于

所以

（2）

由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故

设是平面DAE的法向量，则

可取

设是平面AEC的法向量，则同理可得

则

所以二面角D-AE-C的余弦值为

练习册系列答案
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