题目内容
【题目】(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】
(1)见解析
(2)二面角的余弦值为
.
【解析】
(1)由题设可得,
又是直角三角形,所以
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以
(2)
由题设及(1)知,两两垂直,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的
,即E为DB的中点,得E
.故
设是平面DAE的法向量,则
可取
设是平面AEC的法向量,则
同理可得
则
所以二面角D-AE-C的余弦值为
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