Question

【题目】已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．如图将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：BM⊥平面ADM；
（2）若点E是线段DB上的中点，求三棱锥E﹣ABM的体积V1与四棱锥D﹣ABCM的体积V2之比．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点，

所以 ，所以AM2+BM2=AB2，所以BM⊥AM．

因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，

又BM平面ABCM，且BM⊥AM，

∴BM⊥平面ADM．

（2）解：因为E为DB的中点，所以 ，

又直角三角形ABM的面积 ，

梯形ABCM的面积 ，

所以 ，且 ，

所以

【解析】（1）推导出BM⊥AM，BM⊥AM，由此能证明BM⊥平面ADM．（2）推导出 ， ，且 ，由此能求出三棱锥E﹣ABM的体积V1与四棱锥D﹣ABCM的体积V2之比．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．