在平面直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$．以坐标原点O为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度.曲线C2的极坐标方程为$ρcos=\frac{\sqrt{2}}{2}$．(Ⅰ)把曲线C1的方程化为普通方程.C2的方程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C₂的极坐标方程为$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）把曲线C₁的方程化为普通方程，C₂的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁，C₂相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C₂的垂线交曲线C₁于E，F两点，求|PE|•|PF|．

分析（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t为参数），消去参数即可得出．曲线C₂的极坐标方程为$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中点为P（x₀，y₀），联立抛物线与直线的方程可得x²-6x+1=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，y₀=2．进而点到线段AB的中垂线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线方程，利用参数的意义即可得出．

解答解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t为参数），消去参数可得y²=4x．
曲线C₂的极坐标方程为$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为x-y-1=0．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中点为P（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，y₀=2．
线段AB的中垂线的参数方程为为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入y²=4x，可得t²+8$\sqrt{2}$t-16=0，
∴t₁t₂=-16，
∴|PE|•|PF|=|t₁t₂|=16．