题目内容
19．已知m＞0且|x+1|+|2x-1|≥m恒成立，a，b，c∈R满足a2+2b2+3c2=m．则a+2b+3c的最小值为-3．分析 由条件利用柯西不等式可得a2+2b2+3c2≥$\frac{{（a+2b+3c）}^{2}}{1+2+3}$，从而求得|a+2b+3c|的最大值为3，可得a+2b+3c的最小值．
解答 解：令f（x）=|x+1|+|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x＜\frac{1}{2}}\\{3x，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故函数f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
再根据|x+1|+|2x-1|≥m恒成立，可得m≤$\frac{3}{2}$，
∴a2+2b2+3c2 ≤$\frac{3}{2}$．
由条件利用柯西不等式可得$\frac{3}{2}$≥a2+2b2+3c2 ≥$\frac{{（a+2b+3c）}^{2}}{1+2+3}$，从而求得（a+2b+3c）2≤9，
当且仅当$\frac{{a}^{2}}{1}$=$\frac{{2b}^{2}}{2}$=$\frac{{3c}^{2}}{3}$，即a=b=c=$\frac{1}{2}$或a=b=c=-$\frac{1}{2}$时，取等号，
∴|a+2b+3c|的最大值为3，即-3≤a+2b+3c≤3，
故a+2b+3c的最小值为-3，此时，a=b=c=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-3．
点评 本题主要考查柯西不等式的应用，注意式子的变形，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目