Question

18．是否存在三角形满足以下两个性质：
（1）三边是连续的三个自然数；
（2）最大角是最小角的2倍．若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，求得n=5，从而得出结论．

解答 解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，
由正弦定理可得 $\frac{n-1}{sinα}$=$\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$．
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化简可得n²-5n=0，∴n=5． 此时，三角形的三边分别为：4，5，6，可以检验最大角是最小角的2倍．
综上，存在一个三角形三边长分别为 4，5，6，且最大角是最小角的2倍．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，求得n²-5n=0，是解题的难点，属于中档题．