题目内容
已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点。
(1)求证:MN//平面PAD;
(2)当∠PDA=45°时,求证:MN⊥平面PCD;
(1)求证:MN//平面PAD;
(2)当∠PDA=45°时,求证:MN⊥平面PCD;
同解析
(1)取PD的中点E,连接AE、EN
∵EN平行且等于DC,而DC平行且等于AM
∴AMNE为平行四边形MN∥AE
∴MN∥平面PAD
(2)∵PA⊥平面ABCD∴CD⊥PA又
∵ABCD为矩形 ∴CD⊥AD, ∴CD⊥AE,AE∥MN,MN⊥CD
∵AD⊥DC,PD⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E是斜边的PD的中点∴AE⊥PD,
∴MN⊥PD∴MN⊥CD,∴MN⊥平面PCD.
∵EN平行且等于DC,而DC平行且等于AM
∴AMNE为平行四边形MN∥AE
∴MN∥平面PAD
(2)∵PA⊥平面ABCD∴CD⊥PA又
∵ABCD为矩形 ∴CD⊥AD, ∴CD⊥AE,AE∥MN,MN⊥CD
∵AD⊥DC,PD⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E是斜边的PD的中点∴AE⊥PD,
∴MN⊥PD∴MN⊥CD,∴MN⊥平面PCD.
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