题目内容
【题目】如图，
是半圆
的直径，
是半圆上除点
外的一个动点，
垂直于
所在的平面，垂足为，
，且
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）当为半圆弧的中点时，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）先证明
平面
，再证明
后即可得
平面，即可得证；
（2）建立空间坐标系后分别求出平面
的一个法向量
和平面
的一个法向量
，求出
后即可得解.
（1）证明：因为
是半圆
的直径，所
.
因为
垂直于
所在的平面，
，
所以
，所以平面.
因为
，且
，
所以四边形
为平行四边形.
所以，所以平面，
因为
平面
，所以平面
平面.
（2）由题意，
，
、
、
两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.
则
，
，
，
，所以
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，
则
即
令
，则
.
设平面的一个法向量为
，
则
即
则
，
则
.
因为二面角
是钝角，所以二面角的余弦值为.
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