Question

【题目】如图，矩形所在平面与等边所在平面互相垂直，，分别为，的中点.

（1）求证：平面.

（2）试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，证明见解析.

【解析】

（1）连接交于点,连接,则为的中点,利用中位线的性质求证即可；

（2）由题可分析得到平面,则,若平面平面,只需证明或,由于,共面,故利用平面几何性质证明较易,进而求证即可

（1）证明:连接交于点,连接,

由矩形知为的中点,

∵为的中点,

∴,

∵平面,平面,

∴平面

（2）存在点,当时,平面平面,证明如下:

∵四边形是矩形,,,为中点,

∴,,即,

又∵,

∴,∴,

∴,

∴,

∵为的中点,为正三角形,

∴,

又∵平面平面,且平面平面,平面,

∴平面,

又∵平面,

∴,

又,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面