题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)证明:.
【答案】(1)所求切线方程为;(2)
【解析】
试题(1)先求出导函数,根据对数的几何意义可得切线斜率,利用点斜式可得切线方程;(2)要证
,只需证
,利用导数研究两函数的单调性,从而求出两函数的最值即可证明
,进而可得结论.
试题解析:(1)因为,
所以,
因为,所以曲线
在点
处的切线方程为
.
(2)证明:要证,只需证
,
设,
则,
令得
,令
得
,所以
,
因为,所以
,
又,所以
,
从而,即
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线、利用导数研究函数的单调性进而求最值以及利用导数证明不等式,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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