题目内容

15.已知a>b>c,a+b+c=0,方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2
(1)证明:-$\frac{1}{2}<\frac{b}{a}$<1;
(2)若x12+x1x2+x22=1,求x12-x1x2+x22的值;
(3)设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,求|AB|长度的取值范围.

分析 (1)由已知a>0,c<0,c=-a-b,代入a>b>c可得:-$\frac{1}{2}<\frac{b}{a}$<1;
(2)由已知求得$\frac{b}{a}=0或-1(舍去)$,可得:${x_1}^2-{x_1}x{\;}_2+{x_2}^2=3$
(3)|AB|=|x1-x2|=$\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}$,结合(1)中结论可得|AB|长度的取值范围.

解答 证明:(1)∵a>b>c,a+b+c=0,
∴a>0,c<0,c=-a-b,
由a>b可得:$\frac{b}{a}<1$,…①
由b>c,可得:b>-a-b,
即2b>-a,即$\frac{b}{a}$>$-\frac{1}{2}$,…②
由①②得::-$\frac{1}{2}<\frac{b}{a}$<1;
(2)若x12+x1x2+x22=1,
则(x1+x22-x1x2=1,
则($\frac{b}{a}$)2-$\frac{c}{a}$=$\frac{{b}^{2}-ac}{{a}^{2}}$=($\frac{b}{a}$)2-$\frac{b}{a}$+1=1
解得:$\frac{b}{a}=0或-1(舍去)$,
故$\frac{b}{a}$=0,$\frac{c}{a}$=-1,
∴x12-x1x2+x22=(x1+x22-3x1x2=($\frac{b}{a}$)2-3×$\frac{c}{a}$=3.
(3)若函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,
则|AB|=|x1-x2|=$\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{(\frac{b}{a})^{2}-4×\frac{c}{a}}$=$\sqrt{{(\frac{b}{a})}^{2}+4×\frac{b}{a}+4}$=$\sqrt{{(\frac{b}{a}+2)}^{2}}$=|$\frac{b}{a}$+2|,
由(1)中:-$\frac{1}{2}<\frac{b}{a}$<1,可得:|$\frac{b}{a}$+2|$∈(\frac{3}{2},3)$.

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握韦达定理及二次函数的图象和性质是解答的关键.

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