Question

6．已知函数f（x）=a1nx+bx（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 x-2y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立．求实数k的取值范围；
（3）证明：当x∈N^*，且n≥2时.$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞$\frac{{3n}^{2}-n-2}{{2n}^{2}+2n}$．

Answer 1

分析 （1）利用函数在点（1，f（1））处的导数值即曲线切线的斜率及点在曲线上求得a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，等价于k＜0.5x²-xlnx，构造函数，求最值，即可求实数k的取值范围；
（3）利用（2）证明$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，把x=2，3，…n分别代入上面不等式，并相加得结论成立．

解答 （1）解：∵f（x）=alnx+bx，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为0.5，且过点（1，-0.5），
∴f（1）=b=-0.5，f′（1）=a+b=0.5，
解得a=1，b=-0.5．
（2）解：由（1）得f（x）=lnx-0.5x．
当x＞1时，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，等价于k＜0.5x²-xlnx．
令g（x）=0.5x²-xlnx，则g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=$\frac{x-1}{x}$．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（1）=0，
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=0.5．
∴k≤0.5．
（3）证明：由（2）得，当x＞1时，lnx-0.5x+$\frac{1}{2x}$＜0，可化为xlnx＜$\frac{{x}^{2}-1}{2}$，
又xlnx＞0，
从而$\frac{1}{xlnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$．
把x=2，…n分别代入上面不等式，并相加得，
$\frac{1}{2ln2}$+$\frac{1}{3ln3}$+…+$\frac{1}{nlnn}$＞1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{{3n}^{2}-n-2}{{2n}^{2}+2n}$．
即有原不等式成立．

点评 本题属导数的综合应用题，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，有难度．