Question

14．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$，g（x）=（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x．
（1）判断f（x）在区间（0，$\frac{4π}{3}$）上的单调性，并给出证明；
（2）?a∈（0，1），x∈（0，π），证明：g（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求导，对导函数进行二次求导，利用单调性判断出导函数的正负，确定函数的单调性
（2）利用原函数的单调性，采用放缩法证明不等式成立．

解答 解：f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$
令h（x）=xcosx-sinx
h′（x）=-xsinx
当x∈（0，π）时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）＜h（0）=0
∴f′（x）＜0
∴函数f（x）递减
当x∈（π，$\frac{4π}{3}$）时，h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）＜h（$\frac{4π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$＜0
∴函数f（x）递减
故函数在（0，$\frac{4π}{3}$）上单调递减．
（2）x∈（0，π）时f（x）递减，?a∈（0，1），x∈（0，π）
∵（1-a）x＜x
∴$\frac{sin（1-a）x}{（1-a）x}$＞$\frac{sinx}{x}$
∴sin（1-a）x•x＞（1-a）xsinx
∴（1-a）sin（1-a）x＞（1-2a+a²）xsinx＞（1-2a）xsinx
∴g（x）＞0．

点评 考查利用导函数判断函数的单调性，利用放缩法证明不等式问题．