Question

18．已知x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＞0，f（1）=2，则f（x）在区间[-5，5]上的值域为[-10，10]．

Answer 1

分析 利用赋值法求f（0）的值结合定义证明函数的奇偶性以及函数的单调性，求出函数的最值即可得到结论．

解答 解：令x=y=0则f（0）=2f（0），∴f（0）=0；
对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数；
任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂=x₁+△x（其中△x＞0），
则f（△x）＞0，
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数，
即f（x）在[-5，5]上的最大值为f（5），最小值为f（-5）=-f（5）．
∵f（1）=2，
∴f（1）+f（1）=f（2）=4，
即f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=2+4=6，
f（5）=f（2+3）=f（2）+f（3）=4+6=10，
即最大值f（5）=10，最小值为f（-5）=-f（5）=-10．
故f（x）在区间[-5，5]上的值域为[-10，10]，
故答案为：[-10，10]．

点评 本题主要考查抽象函数和函数值域的求解．利用赋值法，结合函数奇偶性和单调性的性质先判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．