Question

【题目】(导学号：05856308)(12分)

如图，∠ABC＝，O为AB上一点，3OB＝3OC＝2AB，PO⊥平面ABC,2DA＝2AO＝PO，OA＝1，且DA∥PO.

(Ⅰ)求证：平面PBD⊥平面COD；

(Ⅱ)求点O到平面BDC的距离．

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2)

【解析】试题分析：（1）利用勾股定理得出PD⊥OD，由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD，于是PD⊥平面COD，从而有平面PBD⊥平面COD；

（2）由计算可求BD，BC，CD的值，利用余弦定理可求cos∠BCD，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BCD的值，利用三角形面积公式可求S△BCD，S△BOC的值，利用体积相等VO﹣BCD=VD﹣BOC，即可得解点O到平面BDC的距离．

试题解析：

(Ⅰ)因为OA＝1，所以PO＝OB＝2，DA＝1.

由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO，

从而DO＝，PD＝.在△PDO中，∵PO＝2，∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO.

又∵OC＝OB＝2，∠ABC＝，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥OC，又PO∩AB＝O，∴CO⊥平面PAB，故CO⊥PD.∵CO∩DO＝O，

∴PD⊥平面COD.又PD平面PBD，∴平面PBD⊥平面COD.

(Ⅱ)由计算得BD＝，BC＝2，CD＝，所以cos∠BCD＝，所以sin∠BCD＝，

所以S△BCD＝×2××＝，

S△BOC＝×2×2＝2.

又VO－BCD＝VD－BOC，所以××d＝×1×2，解得d＝，即点O到平面BDC的距离为.