题目内容

20.已知:a,b,c,(a,b,c∈R)成等比数列,且公比q≠1,求证:1-a,1-b,1-c不可能成等比数列.

分析 利用反证法结合等比数列的定义进行证明即可.

解答 证明:假设1-a,1-b,1-c不成等比数列,------------(2分)
则(1-b)2=(1-a)(1-c)①------------(4分)
∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,②----------------------(6分)
将②代入①,整理得2b=a+c----------------------(10分)
∴2aq=a+aq2,q2-2q+1=0,
从而q=1,----------------------(14分)
这与已知q≠1矛盾,
∴1-a,1-b,1-c不可能成等比数列-------------------(16分)

点评 本题主要考查等比数列等比关系的判断,利用反证法是解决本题的关键.

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