Question

9．已知3sin²α+2sin²β=2sinα，求cos²α+cos²β的取值范围．

Answer 1

分析 根据已知等式，得到sin²β=-$\frac{3}{2}$sin²α+sinα≥0，可以解出sinα的取值范围是[0，1]，并且cos²β=1-sin²β=$\frac{3}{2}$sin²α-sinα+1，结合cos²α=1-sin²α，代入cos²α+cos²β得关于sinα的二次函数，由此不难求出cos²α+cos²β的取值范围．

解答 解：∵3sin²α+2sin²β-2sinα=0，
∴sin²β=-$\frac{3}{2}$sin²α+sinα≥0，
可得0≤sinα≤$\frac{2}{3}$，
cos²β=1-sin²β=$\frac{3}{2}$sin²α-sinα+1
∴cos²α+cos²β=（1-sin²α）+（$\frac{3}{2}$sin²α-sinα+1）
=$\frac{1}{2}$sin²α-sinα+2，
∵0≤sinα≤$\frac{2}{3}$，
∴当sinα=0时，cos²α+cos²β有最大值为2，
当sinα=$\frac{2}{3}$时，cos²α+cos²β有最小值$\frac{14}{9}$．
∴$\frac{14}{9}$≤cos²α+cos²β≤2．

点评 本题给出两个角α、β的正余弦的一个等式，在此基础上求α、β余弦的平方和的取值范围．主要考查了同角三角函数的关系和二次函数在闭区间上的值域等知识点，属于中档题．