题目内容

【题目】已知函数f(x)=(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a=﹣1,求方程f(x)=1的解集;
(2)若 ,试判断函数y=f(x)在R上的零点个数,并求此时y=f(x)所有零点之和的取值范围.

【答案】
(1)解:方法一:

当a=﹣1时,

由f(x)=1得

解得 x=0,1,﹣2,即解集为{0,1,﹣2}.

方法二:当a=﹣1时,由f(x)=1得:(x﹣1)|x+1|﹣(x﹣1)=0(x﹣1)(|x+1|﹣1)=0

∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2

即解集为{0,1,﹣2}.


(2)解:

当x≥a时,令x2﹣(a+2)x﹣a=0,∵

∴△=a2+8a+4=(a+4)2﹣12>0

先判断2﹣a,与 大小:

,即a<x1<x2,故当x≥a时,f(x)存在两个零点.

当x<a时,令﹣x2+ax﹣3a=0,即x2﹣ax+3a=0得∵

∴△=a2﹣12a=(a﹣6)2﹣36>0

同上可判断x3<a<x4,故x<a时,f(x)存在一个零点.

综上可知当 时,f(x)存在三个不同零点.

,易知g(a)在 上单调递增,

故g(a)∈(0,2)∴x1+x2+x3∈(0,2)


【解析】(1)方法一:化简分段函数,分段求解方程的根即可,方法二:当a=﹣1时,利用f(x)=1化简求解即可.(2)化简分段函数,通过当x≥a时,当x<a时,求出函数的零点,推出 ,构造函数,利用函数的单调性,求解即可.

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