题目内容
已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
(1)f(x)的递增区间是(-∞,2-
)与(2+
,+∞);
f(x)的递减区间是(2-
,2+
)
(2)


f(x)的递减区间是(2-


(2)

(1)当a=2时,f(x)=x3-6x2+3x+1.
f′(x)=3x2-12x+3
=3(x2-4x+1)
=3(x-2+
)(x-2-
).
当x<2-
,或x>2+
时,得f′(x)>0;
当2-
<x<2+
时,得f′(x)<0.
因此f(x)的递增区间是(-∞,2-
)与(2+
,+∞);
f(x)的递减区间是(2-
,2+
).
(2)f′(x)=3x2-6ax+3,
Δ=36a2-36,由Δ>0得,a>1或a<-1,又x1x2=1,
可知f′(2)<0,且f′(3)>0,
解得
<a<
,
因此a的取值范围是
.
f′(x)=3x2-12x+3
=3(x2-4x+1)
=3(x-2+


当x<2-


当2-


因此f(x)的递增区间是(-∞,2-


f(x)的递减区间是(2-


(2)f′(x)=3x2-6ax+3,
Δ=36a2-36,由Δ>0得,a>1或a<-1,又x1x2=1,
可知f′(2)<0,且f′(3)>0,
解得


因此a的取值范围是


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