题目内容
11.在△ABC中,角A、B、C的对边依次为a,b,c且cos2A+3cosA-1=0.(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=$\sqrt{13}$,△ABC的面积是3$\sqrt{3}$,求b+c的值.
分析 (Ⅰ)根据余弦函数的倍角公式,以及一元二次方程进行求解即可求A;
(Ⅱ)若a=$\sqrt{13}$,结合△ABC的面积是3$\sqrt{3}$,以及余弦定理建立方程组关系即可求b+c的值.
解答 解:(Ⅰ)∵cos2A+3cosA-1=0.
∴2cos2A+3cosA-2=0.
即cosA=-2(舍)或cosA=$\frac{1}{2}$,
则A=$\frac{π}{3}$;
(Ⅱ)若a=$\sqrt{13}$,△ABC的面积是3$\sqrt{3}$,
则S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$bc=3$\sqrt{3}$,
∴bc=12,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
即13=b2+c2-2×$12×\frac{1}{2}$,
即b2+c2=25,
即(b+c)2=25+2bc=25+24=49,
即b+c=7.
点评 本题主要考查解三角形的应用,根据余弦函数的倍角公式以及余弦定理,三角形的面积公式是解决本题的关键.考查学生的运算能力.

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