Question

【题目】设函数 且f(x)的最小值为0.

（1）求a的值；

（2）若数列满足a1=1，an+l=f(an)+2(n∈Z+)，记Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，[m]表示不超过实数m的最大整数，求Sn.

Answer 1

【答案】(1) 当a=1时，f(x)取得最小值0. (2) Sn=2n-1

【解析】

（1）(x>0).

当a≤0时，>0，则f(x)在区间(0，+∞)内单调递增，无最小值，不符合题意.

当a>0时，若0<x<a，则<0；

若x>a，则>0.

所以，函数f(x)在区间(0，a)内单调递减，在区间(a，+∞)内单调递增.

故f(x)min=f(a)=ln a-a+1.

设g(a)=ln a-a+1(a>0).则.

若0<a<1，则>0；

若a>1，则<0.

所以，函数g(a)在区间(0，1)内单调递增，在区间(1，+∞)内单调递减.

故g(a)≤g（1）=0.

当且仅当a=1时，上式等号成立.

从而，当a=1时，f(x)取得最小值0.

（2）由（1）知

.

则an+1=f(an)+2=lnan++1.

由a1=1，得a2=2.

从而，a3=ln2+.

因为<ln2<1，所以，2<a3<3.

下面用数学归纳法证明：当n≥3时，2<an<3.

当n=3时，结论已成立.

假设n=k(k≥3)时，2<ak<3.

当n=k+1时，有.

由（1）知

h(x)=f(x)+2=lnx++1

在区间(2，3)内单调递增.

所以，h（2）<h(ak)<h（3），即

由ln2>，ln3<2<h(ak)<32<ak+1<3，

即当n=k+1时，结论也成立.

由归纳假设，知对一切整数n≥3，均有2<an<3.

于是，[a1]=1，[an]=2(n≥2).

故Sn=[ a1]+[a2]+…+[an] =1+2(n-1)-2n-1.