题目内容
【题目】已知函数是定义在区间
上的奇函数,且
,若对于任意的m,
有
.
(1)判断函数的单调性(不要求证明);
(2)解不等式;
(3)若对于任意的
,
恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】(1)函数在区间
上是减函数;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设,化简得到
,结合函数的单调性的定义,即可得到结论;
(2)由(1)知函数在区间
上是减函数,根据
,列出不等式组,即可求解不等式的解集;
(3)要使得对于任意的,
都有
恒成立,只需对任意的
,
恒成立,再结合关于a的一次函数的性质,即可求解.
(1)函数在区间
上是减函数.
证明:由题意可知,对于任意的m,有
,
设,则
,即
,
当时,
,所以函数在
上为单调递减函数;
当时,
,所以函数在
上为单调递减函数,
综上,函数在
上为单调递减函数.
(2)由(1)知函数在区间
上是减函数,
因为,可得
,解得解得
,
所以不等式的解集为
.
(3)因为函数在区间
上是减函数,且
,
要使得对于任意的,
都有
恒成立,
只需对任意的,
恒成立.
令,此时y可以看作a的一次函数,且在
时,
恒成立.
因此只需,解得解得
,
所以实数t的取值范围为.
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