Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD，其三视图和直观图如图所示，E为BC中点． （Ⅰ）求此几何体的体积；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由三视图可知底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4， 定点P在面ABCD内的射影为BC的中点E，棱锥的高为2，
∴此几何体的体积 ．
证明：（Ⅱ）∵PE⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴PE⊥AE，
取AD中点F，∵AB=CE=BE=2，∴ ，∴AE⊥ED，
∵ED∩AE=E，∴AE⊥平面PED，∵AE平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PDE．

【解析】（Ⅰ）由三视图可知底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，定点P在面ABCD内的射影为BC的中点E，棱锥的高为2，由此能求出此几何体的体积．（Ⅱ）推导出PE⊥AE，AE⊥ED，从而AE⊥平面PED，由此能证明平面PAE⊥平面PDE．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．