题目内容
【题目】已知函数
．
（Ⅰ）直线
为曲线
在
处的切线，求实数
；
（Ⅱ）若
，证明： 
．
【答案】（Ⅰ）
． （Ⅱ）
.
【解析】试题分析：
(1)由导函数与切线之间的关系可得
;
(2)原不等式等价于即证： 
， 设
，结合构造出的函数的性质可得
.
试题解析：
（Ⅰ）解法一：由已知得
，所以切点坐标
又
，得
，
，所以
．
（Ⅱ）即证： 
，即证： 
，
因为
，即证： 
，
设
， 
，令
（i）当
时， 
， 
单调递增， 
， 
单调递增，
，满足题意；
（ii）当
时， 
，解得
，
当
， 
， 
单调递减，
当
， 
， 
单调递增，
此时
，
因为
， 
，即
， 
单调递增， 
，满足题意；
综上可得，当
时， 
．
解法二: （Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）即证： 
，即证： 
，
因为
，即证： 
，
因为
，即证
，
令
， 
， 
， 
单调递增， 
，
单调递增， 
．
所以
，故原不等式得证．
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
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