Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率 ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为 的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意设椭圆的标准方程为 ，
由已知得：a+c=3， ，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程为 ；
（Ⅱ）由已知得直线l的方程为y=x+1，
与椭圆方程联立，可得7x2+8x﹣8=0，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
∴|AB|= |x1﹣x2|= =
【解析】（Ⅰ）由题意设出椭圆方程，结合已知列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出两交点的横坐标的和与积，代入弦长公式得答案．