Question

设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）

（Ⅰ）解：因为，
所以为中点.
设的坐标为，
因为，
所以，，且过三点的圆的圆心为，半径为.          ………………………… 2分
因为该圆与直线相切，所以.
解得，所以，.
故所求椭圆方程为.   …………………………………… 4分
（Ⅱ）设的方程为（），
由得.
设，，则.……………………5分
所以.
=
.
由于菱形对角线互相垂直，则.……………………6分
所以.
故.
因为，所以.
所以
即.
所以
解得. 即.
因为，所以.
故存在满足题意的点且的取值范围是. ……………… 8分
（Ⅲ）①当直线斜率存在时，
设直线方程为，代入椭圆方程
得.
由，得.      …………………………………………… 9分
设，，
则，.  
又，所以. 所以. …… 10分
所以，.
所以. 所以.
整理得.      ……………………………………… 11分
因为，所以. 即. 所以.
解得.
又，所以. …………………………………… 13分
②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，，，
，所以.
所以，即所求的取值范围是. ……………… 14分