Question

本题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点、在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且的最大值为90°，直线l过左焦点与椭圆交于A、B两点，
△的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；（5分）
（2）求椭圆C的方程。（9分）

Answer 1

(1)，
(2)

解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，设椭圆方程：  其焦距为，则，，则．
所以动点M的轨迹方程为：．                 ………………………5分
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
∵，∴．                 ………………………6分
　　 ∵，， ∴．
　　　∴．（1）             ………………………8分
由方程组 得．  
由 得
则，，             ………………………11分
代入①，得．
即，解得，或． 经验证。   ………………………13分
　所以，直线的方程是或．      ………………………14分