题目内容
【题目】设,对于项数为
的有穷数列
,令
为
中最大值,称数列
为数列
的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7. 考查正整数1,2,…,
的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列
.
(1)若,写出创新数列为3,4,4,4的所有数列
;
(2)是否存在数列的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的
的创新数列;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出满足所有条件的数列
的个数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)3,4,1,2和3,4,2,1,(2)存在,,(3)有
个
【解析】
(1)先阅读题意,再求出数列即可得解;
(2)先假设存在数列的创新数列为等比数列,再由创新数列的定义求解即可;
(3)先假设存在数列的创新数列为等差数列,再由创新数列的定义分类讨论等差数列的公差求解即可.
解:(1)由题意可得:第一个数为3,第二个数为4,第三个与第四个数分别为1与2的排列即可,即数列有两个:3,4,1,2和3,4,2,1;
(2)存在数列的创新数列为等比数列,
理由如下:
设数列的创新数列为
,
若为等比数列,设公比是
,因为
,所以
,
当时,
为常数列,满足条件,即创新数列为
;
当时,
为增数列,符合条件的数列只有1,2,
,
又1,2,,不是等比数列;
综上可得符合条件的创新数列只有一个;
(3)存在数列,使它的创新数列为等差数列,
理由如下:
若为等差数列,设公差是
,因为
,
所以且
,
当时,
为常数列,满足条件,即创新数列为
;
此时数列是首项为
的任意一个排列,共有
个排列,
当时,
为增数列,符合条件的数列只有1,2,
,
此时数列是1,2,
,只有一个;
当时,
与
矛盾,此时
不存在;
所以满足条件的数列的个数为
个.