题目内容

【题目】,对于项数为的有穷数列,令中最大值,称数列为数列的“创新数列”.例如数列3547的创新数列为3557. 考查正整数12,…,的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列.

1)若,写出创新数列为3444的所有数列

2)是否存在数列的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的的创新数列;若不存在,请说明理由.

3)是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出满足所有条件的数列的个数;若不存在,请说明理由.

【答案】134123421,(2)存在,,(3)有

【解析】

1)先阅读题意,再求出数列即可得解;

2)先假设存在数列的创新数列为等比数列,再由创新数列的定义求解即可;

3)先假设存在数列的创新数列为等差数列,再由创新数列的定义分类讨论等差数列的公差求解即可.

解:(1)由题意可得:第一个数为3,第二个数为4,第三个与第四个数分别为1与2的排列即可,即数列有两个:34123421

2)存在数列的创新数列为等比数列,

理由如下:

设数列的创新数列为

为等比数列,设公比是,因为,所以

时,为常数列,满足条件,即创新数列为

时,为增数列,符合条件的数列只有12

12,不是等比数列;

综上可得符合条件的创新数列只有一个

3)存在数列,使它的创新数列为等差数列,

理由如下:

为等差数列,设公差是,因为

所以

时,为常数列,满足条件,即创新数列为

此时数列是首项为的任意一个排列,共有个排列,

时,为增数列,符合条件的数列只有12

此时数列12,只有一个;

时,矛盾,此时不存在;

所以满足条件的数列的个数为个.

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