题目内容
【题目】四棱锥的底面ABCD为直角梯形,
,
,
,
为正三角形.
Ⅰ
点M为棱AB上一点,若
平面SDM,
,求实数
的值;
Ⅱ
若
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
Ⅰ
推导出
,
,从而四边形BCDM为平行四边形,由
,得M为AB的中点
由此能求出
Ⅱ
在平面SCD内过点S作
直线CD于点E,以点E为坐标原点,EA方向为x轴,EC方向为y轴,ES方向为z轴建立空间坐标系,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
Ⅰ
平面
平面ABCD,
平面平面
,
,
,
四边形BCDM为平行四边形,
又,
为AB的中点.
,
.
Ⅱ
,
,
平面SCD,
又平面ABCD,
平面
平面ABCD,平面
平面
,
在平面SCD内过点S作直线CD于点E,
则平面ABCD,在
和
中,
,
,
又由题知,
,
,
以点E为坐标原点,EA方向为x轴,EC方向为y轴,ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系,
则0,
,
0,
,
0,
,
2,
,
2,
,
0,
,
2,
,
2,
,
0,
,
设平面SAB的法向量y,
,
则,令
,得
0,
,
同理得1,
为平面SBC的一个法向量,
,
二面角
为钝角,
二面角
的余弦值为
.
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