题目内容
【题目】四棱锥
的底面ABCD为直角梯形，
，
，
，
为正三角形．
Ⅰ
点M为棱AB上一点，若
平面SDM，
，求实数
的值；
Ⅱ若
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
Ⅰ
推导出
，
，从而四边形BCDM为平行四边形，由
，得M为AB的中点
由此能求出
Ⅱ在平面SCD内过点S作
直线CD于点E，以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
Ⅰ
平面
平面ABCD，
平面
平面
，
，
，
四边形BCDM为平行四边形，
又，
为AB的中点．
，
．
Ⅱ
，
，
平面SCD，
又
平面ABCD，平面
平面ABCD，平面
平面
，
在平面SCD内过点S作直线CD于点E，
则平面ABCD，在
和
中，
，
，
又由题知
，
，
，
以点E为坐标原点，EA方向为x轴，EC方向为y轴，ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系，
则
0，
，
0，
，
0，，
2，，
2，，
0，
，
2，，
2，，
0，，
设平面SAB的法向量
y，
，
则
，令
，得
0，，
同理得
1，
为平面SBC的一个法向量，
，
二面角为钝角，二面角的余弦值为．
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