题目内容
【题目】如下图,已知椭圆的上顶点为
,左、右顶点为
,右焦点为
,
,且
的周长为14.
(I)求椭圆的离心率;
(II)过点的直线
与椭圆相交于不同两点
,点N在线段
上.设
,试判断点
是否在一条定直线上,并求实数λ的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据条件计算得的值,进而可求离心率;
(Ⅱ)设l的方程为,与椭圆联立得
,
,根据条件
,化简得
,带入条件可得
,由
即可求得
的范围.
试题解析:
(I)由,得
,
的周长为
,即
,得
,
所以,椭圆的离心率为
;
(II)显然直线l的斜率存在,设l的方程为,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
由,得
,化简得
①,-----6分
由消去x,得
,
得,
,
代入①式得,由
得
,
,
因为,得
,所以
,
因此,N在一条直线上,实数
.
【法二:显然直线l的斜率存在,设l的方程为,不妨设
,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), ,
由,得
,化简得
①,6分
由,
,得
②,
由消去x,得
,
可知
,
得,
,
,
代入①式得,由
得
,
由②式得
,得
,
因此,N在一条直线上,实数
.
法三:设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), ,由
,
得
所以,将
,
代入椭圆方程得
上面两式相减化简得
,
因为,得
,所以
,
因此,N在一条直线上,实数
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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