Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l过点P (3， )且倾斜角为．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求直线l的一个参数方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求的值.

（2）已知函数.

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）若正实数满足，且对任意的正实数恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（Ⅰ）直线l参数方程为 (t为参数),圆C的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝5 （Ⅱ）|PA||PB|＝|t1t2|＝4（2）（Ⅰ）1（Ⅱ）

【解析】试题分析：

(1)(Ⅰ)利用转化关系可得直线l参数方程为 (t为参数) ，圆的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝5．

(Ⅱ)联立直线与圆的方程，利用t的几何意义可得|PA||PB|＝|t1t2|＝4.

(2)(Ⅰ)将函数零点分段可得函数的最小值为1；

(Ⅱ)由题意结合均值不等式的结论可得的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）直线l参数方程为 (t为参数)

由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，
所以
又直线l过点P(3，)，

故由上式及t的几何意义|PA||PB|＝|t1t2|＝4
（2）解：（Ⅰ）由已知得，

可知函数的最小值等于1.　

（Ⅱ）由（1）知，所以当且仅当时取等号.

即

解得：