Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，为正三角形，，，点，分别为线段、的中点，、分别为线段、上一点，且，.

（1）确定点的位置，使得平面；

（2）试问：直线上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的大小为，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析 （2）存在点，且

【解析】（1）为线段的靠近的三等分点.

在线段上取一点，使得，因为，∴，因为为中点，∴，当为线段靠近的三等分点时，即，，又易知，∴.又，所以平面平面，因为平面，所以平面.

（2）取中点，连接，因为为正三角形，所以，又侧面底面，所以底面，以所在直线为轴，的中垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，设，则，，设平面的法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为，所以，解得，故存在点，且.