题目内容
【题目】已知函数 (
)在定义域内仅有唯一零点.
(1)若对,不等式
恒成立,求实数
的最大值;
(2)设函数,对于
,
,且
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)直接求导即可得到函数的增减性,只有一个零点,说明其极值为零,即可得到答案;
(2)通过对不等式的变形化简,得到的形式,此时自然运用换元法得到一个新的不等式
,再利用导数来对其进行证明即可。
试题解析:
(1)由(
),得
.
令,解得
.
显然,即
在
的定义域
内,
于是当时,
;当
时,
,
所以在区间
上递增,在区间
上递减,则
.
因为在定义域内仅有唯一零点,所以
,即
,
从而.
于是不等式恒成立,即
恒成立.
①当时,取
,得
,而
,所以
不恒成立,即
不满足条件;
②当时,令
,则
,
令,得
,
.
(i)若,即
时,当
时,
,则
在
上递增,
从而恒有,即
在
上恒成立,即
满足条件.
(ii)若,即
时,当
,
,则
递减,
于是当时,
,即
在
不恒成立,即
不满足条件.
综上得,即
.
(2)由,得
,不妨令
,
欲证 ,
只需证,
即证,
只需证,
只需证,
即证,
即证.
令(
),则只需证
,即
.
令,则
,
于是在
上递增,从而
,
即,即
,所以原不等式成立.
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