题目内容

【题目】已知椭圆和直线,椭圆的离心率,坐标原点到直线的距离为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)已知定点,若直线过点且与椭圆相交于两点,试判断是否存在直线,使以为直径的圆过点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】(I;(II.

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据椭圆中的 ,以及 ,和点到直线的距离公式计算求得 ;(Ⅱ)分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论,当斜率存在时,设直线为 与椭圆方程联立,利用根与系数的关系计算 ,从而求得斜率 和直线方程.

试题解析:(Ⅰ)由直线,∴,即——①

又由,得,即,又∵,∴——②

将②代入①得,即,∴

∴所求椭圆方程是

(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,直线方程为

则直线与椭圆的交点为,又∵

,即以为直径的圆过点

②当直线的斜率存在时,设直线方程为

,得

,得

∵以为直径的圆过点,∴,即

,∴

,解得,即

综上所述,当以为直径的圆过定点时,直线的方程为.

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