Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（3）设PA=1，AD=2，三棱锥P-ACD的体积V=$\frac{1}{3}$，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；
（2）要证平面PAB⊥平面PBC，证明BC⊥平面PAB即可；
（3）求出DC，PB，利用体积公式，即可求点A到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：连接BD交AC于O点，连接EO
因为O为BD中点，E为PD中点，所以EO∥PB，
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；
（2）证明：由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
由于BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，
因为BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC；
 （3）解：设点A到平面PBC的距离为h．
因为PA=1，AD=2，三棱锥P-ACD的体积V=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2DC×1$=$\frac{1}{3}$，
所以DC=1，所以PB=$\sqrt{2}$，
因为三棱锥P-ACD的体积V=$\frac{1}{3}$，
所以三棱锥P-ACB的体积V=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×$2×\sqrt{2}$h=$\frac{1}{3}$，
所以h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的判定定理的应用，考查三棱锥P-ACD的体积，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直．