Question

8．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB=10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（　　）

• A． $\frac{150}{7}$min
• B． $\frac{15}{7}$h
• C． 21.5 min
• D． 2.15 h

Answer 1

分析 两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点，120°的三角形，设距离最近时航行时间为t（h），此时距离s（km），此时甲船到B岛距离为（10-4t）km，利用余弦定理，求出甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间．

解答 解：两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点，角度是120度的三角形，
设距离最近时航行时间为t（h），
此时距离s（km），
此时甲船到B岛距离为（10-4t）km，
乙船距离B岛6t（km）．
cos120°=$\frac{（6t）^{2}+（10-4t）^{2}-{s}^{2}}{2×6t×（10-4t）}$=-$\frac{1}{2}$，
化简得：s²=28t²-20t+100，
抛物线开口朝上，
在对称轴处s²有最小值，
s²取最小值时，t=-$\frac{-20}{2×28}$=$\frac{5}{14}$小时．即$\frac{150}{7}$min．
故选：A．

点评 本题考查解三角形问题在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的灵活运用，考查计算能力，属于中档题．