Question

已知椭圆的右准线，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；
（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）;（2）;（3）,

试题分析：（1）根据题意由已知可得：，进而求出基本量，得到椭圆方程; ;（2）由题中，可得中点与原点的斜率即为,即可化简得：，结合基本不等式求最值，即由得;（3）由（2）中已求出，即，可化简得：，再结合条件，代入化简可得： ，最后由点在椭圆上可得： ，即，化简即P点是椭圆上的点，利用椭圆知识求出左、右焦点为．
（I）由题设可知：∴．又，∴．
椭圆标准方程为．                              5分
（2）设则由得．
∴ ． 
由得当且仅当时取等号       10分
（3）．
∴．∴．                      11分
设，则由得  ，
即 y₂. 因为点A、B在椭圆上，
所以 ．
所以. 即，所以P点是椭圆上的点，
设该椭圆的左、右焦点为，，则由椭圆的定义得18，,                          16分