题目内容
【题目】已知在正整数n的各位数字中,共含有个1,
个2,,
个n.证明:
并确定使等号成立的条件.
【答案】见解析
【解析】
对正整数n的位数使用数学归纳法.
当是一位数,即
时,所证式显然成立,
这是因为,此时的十进制表达式中只有一位数字
,
即,其余
,所以,左边=
=右边.
假设当正整数不超过k位,即
时,结论皆成立.
现考虑为
位数,即
时的情形.
设的首位数字为r.则
. ①
若,则在数
的各位数字中,
,其余
.
显然,.
若,记
的各位数字中含有
个1,
个2,…,
个r,…,
个9.
则的各位数字中,含有
个r、
个j
.
注意到,正整数不超过k位.
由归纳法假设,对有
②
则当为
位数时,结论也成立.
故由数学归纳法,知对一切正整数,结论皆成立.
欲使等号成立,由证明过程,知要么为一位数;要么在
的位数大于或等于2时,由式②,必须
,此时,由式①得
,
即可表示为
的形式.
上述条件也是充分的,当能够表成以上形式时,有
,其余
.
故
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