Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．

（1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及λ的值；

（2）若4≤λ≤5，求椭圆C的离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）;(2) []

【解析】

（1）由PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3），可得关于a，b，c的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求，写出直线PF1的方程，与椭圆方程联立，解得Q的横坐标，由λ=求解λ的值；

（2）由PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，可得P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1），由P在椭圆上，解得P（c，），再由已知向量等式得Q的坐标，结合点Q在椭圆上，可得．再由4≤λ≤5，即可求得椭圆C的离心率的取值范围．

解：（1）∵PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3），

∴a2-b2=c2=4，=1，

解得：a2=16，b2=12，

∴椭圆C的方程为=1．

∴F1（-2，0），直线PF1的方程为y=（x+2），

将y=（x+2）代入椭圆方程，解得xQ=-，

∴λ=；

（2）∵PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，

P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1）．

∵P在椭圆上，∴=1，解得y0=，即P（c，）．

∵F1（-c，0），由PQ=λF1Q，得c-x1=λ（-c-x1），，

解得x1=-c，y1=-，∴Q（-c，-），

∵点Q在椭圆上，∴=1，即（λ+1）2e2+（1-e2）=（λ-1）2．

∴（λ+2）e2=λ-2，从而e2=．

∵4≤λ≤5，∴，解得．

∴椭圆C的离心率的取值范围是[]．