题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若在
上恒成立,求正数
的取值范围;
(Ⅲ)证明:.
【答案】(I)单调递增区间为,单调递减区间为
;(II)
;(III)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出导函数,解不等式和
可得单调递增、递减区间;(Ⅱ)采用参数讨论的方法求出函数
在区间
上的最小值,通过逐步排除可得正数
的取值范围;(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的结论,当
时有
,然后令
,代入整理得
,相加后可得所证不等式.
(Ⅰ)当时,
,
所以,
则当时,
,则
单调递增;
当时,
,则
单调递减;
所以单调递增区间为
,
单调递减区间为
.
(Ⅱ)因为,
,则
,
.
①当 ,时,有
,
故当,则
,
在
上是减函数,
所以当时,
,与
在
恒成立矛盾。
②当时,
,此时
在
上成立,
所以在
上是增函数,
所以,
即在
上恒成立.
综上所述,所求的取值范围为
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时,
在
上恒成立,
即,
当时,则有
,
所以当时,
.
令,则有
,
即,
,
将上述个不等式依次相加得:
,
整理得.
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练习册系列答案
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收缩压 | 114 | 118 | 122 | 127 | 129 | 135 | 140 | 147 |
其中:,
,
请画出上表数据的散点图;
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
;
的值精确到
若规定,一个人的收缩压为标准值的
倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的
倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的
倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的
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