Question

【题目】抛物线的焦点是.问：是否存在内接等腰直角三角形，该三角形的一条直角边过点？如果存在，存在几个？如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图，设一条直角边是，则直线的方程是.

由

得到.

其判别式为 .

可见，，两点的横坐标，与纵坐标，，分别是

，.

考虑复平面，设向量，

于是， .

从而，

.

注意到在上，

因此.

整理得 . ①

将①两边平方，整理得. ②

做出函数和的图象，可以看出这两个图象有两个交点（如图），设它们的横坐标各是，，其中，.注意到时，，所以，等式不成立.与①比较后知，方在①不存在区间内的根.由此可见，方程②只有一个大于1的正实根.

由抛物线的轴对称性，可以看出，当内接等腰直角三角形处于图的状况时，斜边与抛物线的对称轴相交，有两解（见图）.

类似地，当内接等腰直角三角形的斜边与抛物线的对称轴不相交时，又有两解.

综上可知，抛物线共有四个内接等腰直角三角形，它们过焦点的那条直角边的斜率恰是方程②的四个实根